1. 记号与基本假设#

设随机变量 $X\ge 0$ 表示个体从研究起点到事件发生的时间。以下推导主要针对连续型生存时间，并假设：

• $X$ 的密度函数为 $f(x)$，分布函数为 $F(x)$；
• 生存函数 $S(x)>0$ 且可微；
• $S(0)=1$，即事件不会在研究起点之前或恰好于起点发生；
• 所涉及的积分有限，并满足必要的极限条件，例如 $\lim_{t\to\infty}(t-x)S(t)=0$。

四个基本函数分别为：

1. 密度函数

   $$f(x)=\frac{d}{dx}F(x).$$

2. 生存函数

   $$S(x)=P(X>x)=1-F(x).$$

3. 风险函数（瞬时风险率）

   $$h(x)=\lim_{\Delta x\to 0^+} \frac{P(x\le X<x+\Delta x\mid X\ge x)}{\Delta x}.$$

4. 平均剩余寿命函数（mean residual life）

   $$mrl(x)=E(X-x\mid X>x).$$

为简化记号，下面将 $mrl(x)$ 记为 $m(x)$。对于连续型 $X$，条件中的 $X>x$ 与 $X\ge x$ 没有区别。

2. 密度函数 $f(x)$ 与生存函数 $S(x)$#

由生存函数的定义，

对 $x$ 求导，根据微积分基本定理，

因此二者可以相互转换：

由于 $f(x)\ge 0$，所以 $S'(x)\le 0$，即生存函数必为单调不增函数。

3. 风险函数 $h(x)$ 与 $f(x),S(x)$#

从风险函数的定义出发：

所以

再利用 $f(x)=-S'(x)$，得到

即

4. 平均剩余寿命 $m(x)$ 与 $f(x),S(x)$#

根据条件期望的定义，

因此

利用 $f(t)=-S'(t)$ 对分子作分部积分：

所以平均剩余寿命也可写为

当 $x=0$ 时，

即平均寿命等于生存曲线下的总面积。

还可把上式写成条件生存概率的积分。因为

所以

5. 平均剩余寿命 $m(x)$ 与风险函数 $h(x)$#

令

由

对 $m(x)=A(x)/S(x)$ 求导：

于是得到核心微分关系

当 $m(x)>0$ 时，可反解出风险函数：

该式也说明：

因此，平均剩余寿命在某一点增加还是减少，取决于该点的风险率与平均剩余寿命之积。

6. 由平均剩余寿命反推 $S(x)$ 与 $f(x)$#

由上一节可知

又因为 $h(x)=-(\ln S(x))'$，所以

从 $0$ 到 $x$ 积分，并使用 $S(0)=1$：

因此

再利用 $f(x)=h(x)S(x)$，得到

所以，在 $m(x)>0$、可微、$m'(x)\ge -1$ 且所得 $S(x)$ 满足适当边界条件时，平均剩余寿命函数同样能够唯一确定生存分布。